المنهجية في حل المسائل

هو أن يصبح جميع الطلاب NCTM 19989 واحد من الأهداف الخمس للمعايير المنهجية و التقيمية لرياضيات المدارس كما ذكرت
معالجي مسائل الرياضيات و توصى بأن من اجل تنمية هذه القدرات,يجب أن يعمل الطلاب على مسائل تستغرق ساعات أو أيام أو حتى أسابيع لحلها (ص 6) من الواضح أن المؤلفين لم يتعرفوا على طلابي! عندما يصادف طلابي مسألة حسابية يعتقدون أنه يمكن حلها ببساطة لأنهم درسوها في فصل الرياضات وهم يعلمون أيضا أن تقنية أو عملية إيجاد حل لكثير من المسائل يكون بتطبيق مهارة أو إجراء معين قد تم تعلموه مؤخرا في الفصل .إن هدف كثير من طلابي هو ببساطة إيجاد الإجابة فإذا انتهوا إلى الحل الصحيح فهذا عظيم ، أما إذا لم يتحقق ذلك فهم يعلمون (أنها وظيفتي ) لأوضح لهم الطريقة (السليمة ) لحل المسألة . بدأت ألاحظ عقد غير مكتوب بيني و بين طلابي عندما يواجهون صعوبات في حل المسائل الحسابية ,يجب أن أسرع لمعاونتهم

أولا : أشجعهم على التفكير في الأشياء التي بالكاد تعلموها أو انصحهم بإعادة قراءة المسألة ,إذا فشلت هذه الاقتراحات في مساعدة فرد أو جماعة من الطلاب أعطيهم تلميحات محددة ترشدهم لإيجاد الإجابة ,ممكن أن أقول "استخدم جدول لتنظيم بياناتك , انظر للنماذج ، ممكن أن أسألهم أسئلة محددة أعلم أنها ستؤدي مباشرة لحل المسألة .عندما لا تصلح أي واحدة من هذه الإستراتيجيات التعليمية لمساعدة طلابي في إيجاد حل، أقدم أنا حل المساْلة على السبورة

لم أتذكر أبدا أي مساْلة أعطيتها لطلابي ليحلوها أخذت اكثر من خمسة عشر دقيقة، تخيل عدم راحتي واضطرابي عندما قرأت لأول مرة هذه الفقرة من المعايير المنهجية و التقييمية لرياضيات المدارس التي ذكرت احتياج الطلاب لتمضية ساعات وأيام وأسابيع في مسألة واحدة حاولت التفكير في مسائل رياضية يمكن أن أعطيها لطلابي لأشغل تفكيرهم واهتمامهم لساعات لكن لم اكن مرتاحا ولا موافقا على هذه الفكرة

بدأت قراءة المقالات في جرائد تعليم الرياضيات مثل معلم الحساب ، تدريس الرياضيات للأطفال، تدريس الرياضيات في المدرسة المتوسطة و معلم الرياضيات ، و حضرت اجتماعات للتنمية المحلية بحثا عن رؤية جديدة لحل المسائل
في إحدى المؤتمرات التي كانت تناقش حل المسائل قالت المحاضرة ,أنها ستشركنا معها في مسألة رياضية شهيرة ممكن أن تستخدم مع الطلاب في جميع الأعمار ثم وضعت هذه المسألة على شاشة العرض لنقرأها
بالنيران اليوم . بعد أن قرأت هذه المسألة أصبحت محبطا و مضطربا ونظرت حول القاعة و لاحظت أن Elmwood اشتعلت مدرسة
الآخرون يتحدثون عن المسألة، وبعد مناقشة رد فعلى مع من حولي أدركت أن معلمين آخرين كثيرين فكروا بنفس الأسلوب الذي فكرت بها و لكن عندما ناقشناه بدأت أدرك نظرة جديدة لحل المسائل. صرح أحد المعلمين في مجموعتنا "لقد كانت تجربة علمية انفجرت و سببت الحريق "و آخر قال "الشمس سببت الحريق عندما أشرقت من خلال نافذة الفصل ثم تجمعت عن طريق عدسة مكبرة تركت فوق جرائد قديمة .خلال هذا التقدم ساعدتنا المحاضرة على إدراك أننا ممكن أن نستخدم إبداعنا الشخصي وتفكيرنا و معرفتنا الرياضية المسبقة في عملية حل المسائل لتسهيل خلقنا لرياضيات ذات معنى لأنفسنا
لقد جئت ببعض الأفكار الجيدة عن كيفية التقدم في حل المسائل في الفصل، وجمعت أيضا مسائل جيدة من هذه المصادر و تعودت الصبر على طلابي في حل المسائل
وكما عزمت خلال الصيف أن أستكمل حلول المسائل في كل مجالات المناهج الرياضية مسلحا بالمسائل التي جمعتها و أعدت حلها مرتكزا على انعكاسات تفكيري الصيفي . بدأت العام الجديد و حل المسائل هو هدفي و لكن ما حدث خلال أول شهر من الدراسة كان ابعد ما يكون عن البهجة

خلال الأسابيع الأولى القليلة من العام الدراسي رغب الطلاب في أن أوضح لهم كيفية حل جميع المسائل بالإضافة إلى إنني لم أعطيهم ملحوظات أو استراتيجيات على كيفية حل المسائل فقد اعتقدوا هم وبعض آبائهم أنني لا أقوم بواجبي. تعلمت أن طلابي لم يمارسوا حل مسألة حقيقية ، وبما أنني أنا و طلابي قد صارعنا مع حل المسائل على مر السنين فقد طورت بعض التقنيات و الإستراتيجيات لمساعدتهم ليصبحوا معالجي مسائل اكثر قوة

البداية
أول مجموعة من الأهداف تركز على مساعدة طلابي في تعلم أي الأدوات المتوفرة لحل المسائل الرياضية يجب استخدامها قد قدمت عدة مسائل تسهل استخدام الاستراتيجيات المتعددة اليدوية و الآلات الحاسبة
وبمجرد أن اصبح طلابي متعارفين ومعتادين على هذه الأدوات بدأت,اركز على الابتكار والتجديد في حل المسائل الحسابية خلال بداية تجربتنا في حل المسائل لاحظت أن بعض الطلاب يواجهون القلق و الإحباط وهذا حسب تصوري نتيجة عدم امتثالي لطلبتهم في توضيح كيفية حل المسائل , وقد حاولت أن أكون صبورة وفى الوقت نفسه حازمة لأعينهم على تغيير هذا السلوك فوجدت أنة من الصعب خلق المناخ المرغوب فيه لحل المسائل في الفصل بدون تغير اتجاهات الطلاب أولا واتجاه تفكيرهم عن الرياضيات وحل المسائل

هذا التغير في الاتجاه بدأ في فصلى عندما أوضحت لطلابي أنى احترم قدرتهم على حل المسائل و أن الصبر و الإصرار مهمان لكي تصبح معالج مسائل ناجح و أيضا تعلمت أن تقديم المسائل الجيدة ضروري في عملية تغير معتقدات طلابي عن حل المسائل الرياضية
في بداية السنة بدأت بمساْلة سهلة الفهم و التي يمكن حلها بعدة طرق و أطلقنا على نوعية هذه المسائل التي تؤدى إلى مناقشات بناءة في "فصلى "مسائل محل الأحذية

رجل يذهب لمحل أحذية و يشترى زوج من الأحذية بخمسة دولارات و يدفع ورقة مزورة عشرين دولار , وطبعا غابت هذه الحقيقة عن صاحب محل الأحذية الذي لم يكن لدية باقي للعشرين دولار ,فأسرع إلى البقال المجاور , وأعطاه أربع ورقات من فئة خمس دولارات للعشرين دولار المزيفة ,و عاد صاحب محل الأحذية لمحلة و أعطى الرجل الحذاء و 15 دولار باقي .بعد ذلك جاء البقال لاحقا لصاحب محل الأحذية مع المباحث الفيدرالية و اخبره أن ورقة العشرين دولار كانت زائفة , لذلك أعطى صاحب محل الأحذية للبقال 20دولار و احتفظت المباحث الفيدرالية بالورقة المزورة .كم خسر صاحب محل الأحذية ؟
Sobel & Matlesky, 1988 ماْخوذة من

أوصيت الطلاب بقرأة المسألة بعدة طرق أولا, قرأناها كلنا بصوت عال, بعدها قرأناها ثانية و لكن مجموعات معينة تقراْ جمل مختلفة لمساعدة الطلاب على تفسير المساْلة بعدة طرق وهذه الخطوة تؤدى إلى نشاط الذهن عندما يعرض الطلاب المعلومات التي يعتقدون بأهميتها في حل المسألة .ونحن هنا لا نقلل من أى فكرة و لكننا نعرض المعلومات المتصلة و الغير متصلة بالمسألة

و دائما يعد الطلاب قائمة تتضمن كل المشاركين ,ترتيب الأحداث ,المبالغ النقدية ,و أي معلومات أخري يعتقدونها مهمة في مسألة محل الأحذية ,هدف هذا الجزء من النشاط هو خلق اتجاه للعمل في جماعات صغيرة كما يلى
بعد دقائق قليلة من التفكير ,عمل الطلاب في مجموعات صغيرة من ثلاث أو أربع لتوليد استراتيجيات بمكن استخدامها في حل المسائل ، و أخذت كل مجموعة تتناقش فيما بينها حتى يصلوا إلى حل مقنع لكل المجموعة أو حتى يتفقوا على عدم استطاعتهم تقديم حل مناسب .وبينما كانوا يعملون على حل المسألة كنت أدور بينهم اسأل أسئلة لاستثارة تفكيرهم و بما انهم يحاولون حل هذه المسألة في مجموعات صغيرة ,فالأكثر أهمية بالنسبة لى هو ان يتبادل الطلاب وجهات النظر عن تفكيرهم الخاص على أن يمتثلوا لتفكير شخص آخر .بالرغم من ذلك يجب على كل مجموعة أن توافق على النظرية الأكثر إقناعا و تستعد للدفاع عن استنتاجها للفصل كله . بعد حصول طلاب كل مجموعة على الوقت الكافي لحل المساْلة و تقديم البراهين تتجمع ثانية المجموعات فى مجموعة كبيرة لمشاركة النتائج .هنا تحدث مناقشات جانبية خلال مشاركتهم لبعضهم البعض و كان على أن أتابع أنواع الإستراتيجيات المستخدمة من قبل المجموعات و حلولهم و اسأل أسئلة تحتاج من الطلاب إعادة النظر فى حلولهم و أساليبهم في حل المسألة

بالنسبة لمسألة محل الأحذية ,حاول الطلاب أن يقدموا تفسير منطقي يحتوى على معلومات مرئية يتم العمل عليها باستخدام خرائط ,أشكال و هكذا ......في محاولة لإقناع الآخرين في الفصل فمثلا بالنسبة لمسألة محل الأحذية حاول الطلاب تقديم الحل النموذجي عن طريق إعادة تصور ورسم الأحداث" صاحب محل الأحذية يعطى الرجل 15 دولار للحذاء و يجب أن يعطى 20 دولار للبقال و الورقة المزورة للمباحث فهو يدفع 15 دولار &20 دولار أو 35 دولار زائد الحذاء" و خلال المناقشات .يستخدم الطلاب مرارا الصور او التخيلات لتوضيح "تدفق "المال في حلولهم

أحد أسباب إعجابي بهذه المسألة هو التعارض الذي خلقته بين طلابي ,فالطلاب يحاولون إقناع زملائهم بمنطقية حلولهم و قد راجعت صياغة هذه المناقشات وأن شاب صوتي بعض الاضطراب وأخذ بعض الطلاب يهزون رؤوسهم موافقين على ما لمسوه في صوتي من الحيرة .والحق أن اصعب فعل على المعلم بالنسبة لي- خلال هذه الفترة من تطورنا مع بعضنا البعض_ هو عدم الإجابة على أسئلة الطلاب ,فمرارا ينظر إلى طلابي لأثبت إجابتهم أو احل خلافاتهم .الأمر الذي اعتدت عليه واعتد أن اعتقد إني أساعد طلابي و لكنى اكتشفت أن هذه المساعدة ما هي إلا مساعدة سطحية و وقتية

إما عن طريق طرح أسئلة تحافظ على تركيز الطلاب و التفكير في أفكار رياضية مركزية ,امنحهم العون الذي يحتاجون إليه لتنمية ثقتهم في قدراتهم الخاصة في التفكير رياضيا .اسأل أسئلة مثل "ما هي الحلول التي لهل معنى بعد الأخذ فى الاعتبار هذه البراهين ؟ "هل هذه البراهين مقنعة بالنسبة لك ؟" "كيف تدافع عن رأيك للذين لا يتفقون معك ؟" بمجرد ان يصبح طلابي اكثر استقلالا و إبداعا اسأل أسئلة تشجعهم على التحقيق فى مشاكلهم الخاصة و أفكار فى الرياضيات مثلا: كيف يمكنك استخدام ما وجدته فى هذه المساْلة لحل مسألة متصلة بها .لو على سبيل المثال جزء من المساْلة الأصلية ثم تغييره بطريقة ما ؟
كيف يؤثر تغير أجزاء من هذه المسألة على عملية حلك للمسألة و الحل نفسه ؟
والحق أنني اصبح فى إمكاني أن احكم عن مدى تقدم طلابي من خلال نوعية الأسئلة التي يسألوها . أن انتظار الطلاب لتحمل مسؤولية إثبات حل لا يزال غير مريح بالنسبة لي و لكن مساهمة ملاحظة الطلاب التي تتنافس على الحل المقدم تحدث تلقائيا

عندما منحتهم الوقت للإجابة في فصل واحد ، قام طالب في ركن ما من الغرفة و اقترح ان قيمة 20 دولار لتي أخذها البقال من قبل صاحب محل الأحذية لم تخسر، وعندما انفجرت الغرفة بالكلام من قبل المجموعات حتى صرخ طالب آخر " لنحلها ".راجعت كل البراهين و المجادلات السابقة بطرح أسئلة جديده علي كل طلابي للتفكير فيها مثل : " كم اخرج صاحب محل الأحذية بعد عودته من البقال و أعطي الرجل الباقي و الحذاء؟" بمراجعه مناقشات الطلاب و طرح الأسئلة عليهم تأكدت من إمكانية تطبيق تقنياتهم و تشجيعهم علي التفكير في طرق مختلفة للرؤية المسألة . هذه الطريقة لا تساعد فقط الطلاب الذين يشعرون بالحيرة و الاضطراب عند حل المسألة أو عندما يعرض شخص أخر أفكاره فى حل المسألة و لكنها تساعد أيضا الأشخاص الذين قدموا المسألة أنفسهم على إعادة التفكير .و في عمليه البحث عن تقنية أو نظريه بديله للمسألة يبدأ طلابي في الثقة في تفكيرهم المبدع و قدرتهم على الوصول إلى نظريه اكثر إقناعا

من المهم في هذه التجربة المبدئية لحل المسائل ينظر طلابي للمسألة من وجهات نظر مختلفة وان يقدموا على و ينصتوا إلى مجادلات مقنعة بعد المناقشات المبدئية لمسألة محل الأحذية و مراجعتها طلبت أية حلول جديده أو مناقشات مختلفة لم تقدم بعد وكان غرضي من هذا أن يفهم الطلاب ان أهم شيء في حل المسائل هو تقديم العديد من مختلف الطرق و الإستراتيجيات فى حلها

وعموما فيجب أن يتعلم الطلاب أنهم حتى يصبحوا معالجين جيدين للمسائل يجب أن يقرر كل فرد علي حده ما إذا كان تفكيره أو تفكيرها عن المسألة المتاحة صحيح ام لا . هذا الطلب يجعلني معارضه لمشاركة آرائي الخاصة في المسائل الفردية حتى أتأكد من أنها لن تؤثر في تفكيرهم او ثقتهم في ممارسه الرياضيات، فالقاعد التي استخدمها لأعلم متي أشارك بوجهه نظري فى حل المسائل تتضمن الإنصات لتعليقات الطلاب
فإذا كانوا معتادين دائما على الإنصات ومناقشة أفكار بعضهم البعض فى الفصل و على الدخول فى مجادلات من شأنها أن تؤيد أو تخالف هذه الأفكار. وعندما أبدي رأيي الخاص فى مشكلة معينة و بعد عرضي لفكري الخاص عن المشكلة إذا استجاب الطلاب لي بنفس الطريقة التى استجابوا بها لزملائهم استمر فى مشاركتهم بأفكاري . هذا النوع من استجابة الطلاب يشير الى ان ثقة الطلاب فى انفسهم فى ممارسة الرياضيات قوية ,وجدت ان الزمن الذى استغرق فى ممارسة هذه النشاطات المبد ئية يختلف باختلاف الخبرة المسبقة لطلابي و عمرهم و بقدرتي على توصيل اهداف عملية لحل المسائل الجديدة بانتظام .فى النهاية يكتشف طلابى انى مهتمة فعلا بعملية حل المسائل ,ولسوء الحظ يبدءون فى الاعتقاد ان كل ما يقولون او يفعلون صحيح وان الاجابة عن المسائل الحسابية ليست مهمة او ضرورية ,وعادة مايحدث فى خلال هذة الفترة ان يقول الطالب أنه لا يخطئ ,فيجب ان اكون على حق طالما كتبت اى شىْ سوف يمنحنى الدرجة النهائية
ان كل الطلاب سوف يصلون فى النهاية الى حقيقة الافكار الرياضية اذا استمروا فى الجدال فترة كافية Piaget يعتقد
( Inhelder & Piaget,1985 ) و لكن هنا تكمن المشكلة
لو اخبرت طلابى ان اجابتهم خاطئة سوف اصبح انا وحدى منبع قوتهم الرياضية و اذا لم اخبرهم ان بعض اجابتهم خاطئة سوف يقتنعون و يرضون بمحاولتهم الأولى

فوجدت أن الطلاب يتابعون المسائل بدقة اكثر عندما اطلب منهم ان يبتكروا مناقشات و مجادلات للتواصل و إقناع الآخرين أن إجابتهم صحيحة ,جعلت كل مجموعة تقدم نظريتها عن المساْلة للفصل ,بعد ذلك اسأل أسئلة مثل :"هل لدى أي شخص أسلوب آخر للتفكير فى هذه المساْلة و عندما يطلبون منى أن اخبرهم عن الإجابات أو الاستراتيجيات الصحيحة أسألهم" ماذا عن اعتقادك أنت " أو "لماذا تعتقد أن هذا الحل أو الاستراتيجية صحيحة" .هذا الرد لا يرضى بعض الطلاب فى فصلى فى البداية ,و يصرون ان اثبت لهم الإجابة الصحيحة ,و أقول لهم إذا كان لديهم شك فى الحل او الطريقة التى يستخدمونها فعملية حل المسألة لن تكتمل , فالذي يبقى لدية شك يجب أن يجد رؤية أخرى للمسألة

فالشك دائما مقرون بمسألة محل الأحذية ,بعد كثير من المناقشات و التشجيع على البحث عن طريقة أخرى لرؤية المسألة ,قدمت إحدى المجموعات مشكلة ابسط ,و نظرية العودة للخلف " و قالوا بدل من التفكير فى كمية الأموال التى خسرها صاحب محل الأحذية فلنهتم بمن الذين حصلوا على الأموال فى المسألة ,و كم معهم منها ,و من هنا يمكن أن نقول كم خسر صاحب المحل ,فالخضري أعطى 20 دولار و استردها إذن فهو مستبعد

المباحث الفيدرالية حصلت على الفاتورة المزورة فقط ,إذن الشخص الوحيد المتبقى فى المسألة بجانب صاحب المحل هو هذا الشخص الذى أراد شراء الحذاء و 15 دولار .هذه التقديمات المتنوعة و المناقشات و الأفكار تساعدنا على ما يعنيه حل المسائل

و الحقيقة أنني قد حققت هدفي عندما تفاعلت مع طلابي كطرفين متكافئين في عملية حل المسائل .عندما حدث ذلك اعتبرت واحد من أعضاء كثيرين فى مجتمعنا لمعالجي المسائل ,مقترحاتي و أفكاري كانت قيمة و لكن ليست اكثر من مقترحات و أفكار أي عضو آخر في مجتمعنا , دوري ان اقدم مسائل و أسئلة تحث على الفكر الرياضي . فأنا ناجحة فى تحفبز التفكير اذ ما سأل طلابى أسئلة لم آخذها سابقا فى الاعتبار فمثلا : أعطيت طلابى مسألة تتطلب إيجاد مساحة مجموعة من المثلثات متساوية الضلعين, خلال حل هذه العملية أحد المجموعات خمنت ان حاصل ضرب ضلع ما من الأضلاع المتساوية مع نصف القاعدة دائما ما يكون اكبر من مساحات هذه المثلثات ,والحقيقة كانت هذه اول مرة أواجه بمثل هذا الرأي و شعرت بحاجتى الى تبرير التخمين فورا و لكن بدلا من ذلك ابتكرت أسئلة ساعدتني و ساعدت الطلاب على التفكير بإمعان فى التأثير الذى يمكن ان يحدث نتيجة هذا التخمين على بعض الأشياء الأخرى التى نعرفها عن المساحة و المثلثات ذات الضلعين المتساوين ,ما الذى يميز المثلثات ذات الضلعين المتساويين ,كيف يقارن ارتفاع المثلث المتساوي الضلعين بأطوال أضلاعه

و عندما يثق طلابى فى مقدرتهم على حل المسائل فبحركة ذاتية يبتكرون براهين رياضية لمساندة و اثبات افتراضاتهم ويشعرون بحاجتهم لمشاركة باقى زملائهم فى هذه البراهين ,ليس من الضرورى ان تذكر ان هذه المرحلة لا تحدث فجاة و لكن تتطلب اولا معلم مستعد للمشاركة فى عملية حل المسائل مع الطلاب و بعد ذلك وقت و اصرار و تقديم مسائل جيدة

إيجاد قليل من المسائل الجيدة و استخدامها فى الفصل ,ساعدنى ان ابدأ فى تغيير الطريقة التى ادرس و اتفاعل بها مع طلابى ,و اضفت قليل من مسائلى المفضلة املا فى ان تكون ذو فائدة
اذا طويت ورقة نصفين فان النتيجة تكون ورقتان فى نصف الحجم ,اذا طويت نصف الورقة الى نصفين اصبح لديك اربع ورقات و اذا استمريت فى الورق للنصف عشرين مرة ,فكم ورقة تنتج عن هذا ؟ لو وضعتها على الارض فكم يبلغ ارتفاعها ؟ -1
جو و استر كانا يكسبان نفس المرتب عندما جاء المدير و اخبر جو انة سيخصم من مرتبة 10% و اخبر استر ان لها 10 إضافي ,و بعد ستة اشهر من الشكوى التى تقدم بها جو ,عاد المدير و منح 10%اضافى لجو و خصم من استر10% ,قارن مرتباتهم الحالية بمرتباتهم الاصلية بعد كل هذه الخصوم و الاضافات ,هل يكسبا اكثر أم اقل ؟ اشرح اجابتك -2
سيارتان تسافران فى نفس الاتجاة على الطريق ,السيارة التى تتقدم تسير بسرعة 46 ميلا فى الساعة ,و السيارة الاخرى تسير بسرعة 70 ميلا فى الساعة ,فكم ميلا تبعد السيارتان عن بعضهما البعض قبل 30 دقيقة من ادراك السيارة الاسرع الى السيارة الابطأ ؟ -3
خمسة قطط تستطيع الإمساك بخمسة فئران فى 5 دقائق ,بهذا المعدل كم قطة نحتاجها للامساك بمائة فأر فى 100 دقيقة - ملحوظة ليست 100 -4
كرات لعبة التنس تم تعبئتها باحكام ,كل 3 كرات فى علبة ,هل العلبة اطول من المسافة المحيطة أم العكس ؟ اشرح كيف علمت ان احابتك صحيحة -5

فى النهاية تمكن الطلاب من الحصول على تعريفات وحلول للمسائل المقترحة من خلال تفاعلهم مع المسائل التى اخترتها, المنقاشان التى تبادلنها ,ومن الاشياء التى قيمتها و قدرتها من خلال عملية تغير فصلى ,تعلمت ان اهتم اكثر بأدق التغيرات الكيفية فى طلابى و فى البيئة المحيطة بالفصل اكثر من الناتج الصحيح للمسائل ,فوجدت ان من الممكن لطلابى ان بمضوا ساعات ,و أيام و حتى أسابيع فى مسألة خلال دراستهم و تعلمهم للرياضيات

منقول

» طريقة حل المسائل الرياضة
» أصر إستخدام الإستراتيجيات المختلفة لحل المسائل